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泛函分析數學基礎知識

2025年01月18日 05:37

泛函分析是現代數學的一個分支,其基礎知識包括以下方面: 1. 度量(距離):將集合中兩個元素映射為一個實數,且映射滿足“非負性”“對稱性”和“三角不等式”,這種映射稱為兩元素的“度量”或它們之間的“距離”。有度量(定義了距離)的集合稱為“度量空間”(距離空間)。 2. 極限:當一個集合(數列)中的點與某一定點的距離趨向于 0 時,稱這個定點是這個集合的極限,稱之為“極限點”。 3. 連續:在 A、B 兩個度量空間中,定義了某一種從 A 到 B 的映射(函數),當 A 中某一集合的點趨向于極限點時,映射于 B 中的點也趨向于極限點的映射,則稱這種映射在極限點處連續(函數連續)。若這種映射在度量空間中任意點都連續,稱它為連續映射(連續函數)。 4. Cauchy(柯西)序列:若在度量空間中的一個序列,存在一個序號 N,排在 N 之后的任意兩個點之間的距離小于一個任意小的正數,則稱這個序列為柯西序列。 5. 完備:若度量空間中的任意柯西列都收斂于此空間(極限點在空間內),則稱該度量空間是完備的。 6. 線性空間:稱某一集合為線性空間,若該集合中的元素滿足加法交換律、加法結合律、加法零元、加法負元、乘法結合律、乘法分配律、乘法單位元、乘法的零元。 7. 線性相關:存在一組不全為 0 的常數,使得集合中的若干個元素的線性組合為零向量,則稱這些元素線性相關。否則,稱為線性無關。 8. 子空間:集合 X 的子集也滿足線性空間的 8 條性質,則稱該子集為集合 X 的子空間。 點擊前往免費閱讀更多精彩小說
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