大衍求一術的例題
2025年06月16日 08:02
以下為大衍求一術的例題：
例 1：一個數除以 3 余數是 2，除以 5 余數是 3，除以 7 余數是 2。這個數最小是多少？
解題步驟：
1. 先找到 5 和 7 的公倍數中除以 3 余 1 的最小數：70。
2. 再找到 3 和 7 的公倍數中除以 5 余 1 的最小數：21。
3. 最后找到 3 和 5 的公倍數中除以 7 余 1 的最小數：15。
然后用上述三個數字分別乘對應的余數，再相加。具體說來：
1. 70 是除以 3 余 1 的數，題中要求除以 3 余 2，所以要拿 70 去乘 2。
2. 21 是除以 5 余 1 的數，題中要求除以 5 余 3，所以要拿 21 乘 3。
3. 15 是除以 7 余 1 的數，題中要求除以 7 是 2，所以要拿 15 乘 2。
70×2 + 21×3 + 15×2 = 233，然后用得到的數依次減去 3、5、7 的最小公倍數 105，直至得到合適的最小數。233 - 105 = 128，128 - 105 = 23。23 就是本題的正解。
例 2：一個自然數除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 3，這個數最小是多少？
解題步驟：
先找到 3 和 5 的公倍數中除以 2 余 1 的最小數：15 ；再找到 2 和 5 的公倍數中除以 3 余 1 的最小數：10 ；最后找到 2 和 3 的公倍數中除以 5 余 1 的最小數：6 ；15×1 + 10×2 + 6×3 = 53，(2, 3, 5) = 30, 53 - 30 = 23。
例 3：一個數除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，除以 9 余 5，這個數最小是多少？
解題步驟：
由于 9 是 3 的倍數，且這個數除以 9 余 5，那么這個數除以 3 一定是余 2 的，因此第一個條件就完全可以忽略。這樣一來題目就變為：一個數除以 5 余 3，除以 7 余 4，除以 9 余 5，這個數最小是多少？但此題用大衍求一術不是最好的方法。
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