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凹凸反轉例題

2025年06月29日 01:09

以下為您提供一個凹凸反轉的例題： 設函數 \(f(x)=\frac{1}{x} \ln x - e^{x - 1}\)，\(g(x)=(a - 1)x - 1\)。 （1）判斷函數 \(y = f(x)\) 零點的個數，并說明理由； （2）記 \(h(x) = g(x) - f(x)\)，討論 \(h(x)\) 的單調性； （3）若 \(f(x) < g(x)\) 在 \( (1, +\infty)\) 恒成立，求實數 \(a\) 的取值范圍。 【解析】 （1）由題意得：\(x > 0\)，\(f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} - e^{x - 1}\)，\(f'(x) > 0\) 時，函數單調遞增；\(f'(x) < 0\) 時，函數單調遞減。又 \(f(1) = -1 < 0\) ，\(f(e) = \frac{1}{e} - 1 > 0\) ，故函數 \(y = f(x)\) 在 \( (1, e)\) 內存在零點，所以 \(y = f(x)\) 的零點個數是 1。 （2）\(h(x) = (a - 1)x - 1 - (\frac{1}{x} \ln x - e^{x - 1})\)，\(h'(x) = a - 1 + \frac{\ln x - 1}{x^2} + e^{x - 1}\) 。當 \(a \leq 1\) 時，\(h'(x) < 0\) ，\(h(x)\) 在 \( (0, +\infty)\) 遞減；當 \(a > 1\) 時，由 \(h'(x) = 0\) ，解得 \(x = x_0\) （具體值需進一步計算），當 \(0 < x < x_0\) 時，\(h'(x) < 0\) ，\(h(x)\) 遞減，當 \(x > x_0\) 時，\(h'(x) > 0\) ，\(h(x)\) 遞增。 （3）由題意得：\(\frac{1}{x} \ln x - e^{x - 1} < (a - 1)x - 1\)，問題等價于 \(a - 1 > \frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x} - \frac{e^{x - 1}}{x}\) 在 \( (1, +\infty)\) 恒成立。 《星辰之盟：宿命與力量的交響》 小說同樣精彩，歡迎大家點擊前往閱讀！
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