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一課一題北大自主招生

2025年04月13日 14:03

以下為一道有趣的北大自主招生題：已知方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的根同時也是方程$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$的根，求$a + b - 2c$。解題思路：首先由$x^2 - 3x - 1 = 0$可得$x^2 = 3x + 1$，進而得出$x^4 = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 9(3x + 1) + 6x + 1 = 10 + 33x$。將其代入方程$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$，化簡為$(33 + 3a + b)x = -10 - a - c$。由于原二次方程有兩個不同實根，且都是四次方程的根，也是此化簡后的一元一次方程的根。根據相關技巧，當一元一次方程$dx = e$有不同的根時，可知$d = 0$，$e = 0$，由此可得$33 + 3a + b = 0$，$-10 - a - c = 0$。一式加$2$倍二式可得：$13 + a + b - 2c = 0$，所以$a + b - 2c = -13$。此外，還有其他與北大自主招生相關的題目，比如：題目：$2^n$整除$10^{20} - 2^{20}$，求$n$的最大值。解題思路：首先對$10^{20} - 2^{20}$進行因式分解，提取公因子$2^{20}$，然后對剩余部分進行因式分解，運用同余技巧分析其中包含的因子$2$的個數，最終得出$n$的最大值為$24$。再比如：求解方程，已知$p$為質數，且$p < 100$，若$p^2 - m^2 = p + 7$，求$p$的值。解題思路：根據算術基本定理，可知$p + 7$為完全平方數。設$p + 7 = n^2$，因為$p$是小于$100$的質數，可知$n$在$3$到$10$之間，枚舉$n$的值，可知$p = 2$，$29$滿足題意。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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