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大衍求一術(shù)怎樣算法簡(jiǎn)便

2025年04月07日 12:19

大衍求一術(shù)是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在 《數(shù)書(shū)九章》 中提出的算法，用于求解“孫子定理”中的“關(guān)鍵數(shù)”。 其簡(jiǎn)便算法主要通過(guò)以下步驟：設(shè)互素的正整數(shù)為 \(m\) 和 \(n\) ，改進(jìn)的大衍求一術(shù)算法每一步的結(jié)果是兩行三列的數(shù)表。 初始狀態(tài)設(shè)定為： \[ \begin{array}{ccc} m & 1 & 0 \\ n & 0 & 1 \\ \end{array} \] 如果 \(n\div m\) 的余數(shù)為 0 ，則滿足要求。 否則，分以下情形： 情形一：設(shè) \(m\) 除以 \(n\) 的帶余數(shù)除法結(jié)果為 \(m = q_1n + r_1\) ，用所得的商 \(q_1\) 分別去乘初始數(shù)表中對(duì)應(yīng)于 \(n\) 的兩數(shù)，并把結(jié)果加到對(duì)應(yīng)于 \(m\) 的兩數(shù)上，再把 \(m\) 更新為余數(shù) \(r_1\) ，得到第 1 步的結(jié)果。若 \(r_1\div n\) 的余數(shù)不為 0 ，繼續(xù)按類(lèi)似方法進(jìn)行下一步計(jì)算。 情形二：設(shè) \(n\) 除以 \(m\) 的帶余數(shù)除法結(jié)果為 \(n = q_1m + r_1\) ，用所得的商 \(q_1\) 分別去乘初始數(shù)表中對(duì)應(yīng)于 \(m\) 的兩數(shù)，并把結(jié)果加到對(duì)應(yīng)于 \(n\) 的兩數(shù)上，再把 \(n\) 更新為余數(shù) \(r_1\) ，得到第 1 步的結(jié)果。若 \(r_1\div m\) 的余數(shù)不為 0 ，繼續(xù)按類(lèi)似方法進(jìn)行下一步計(jì)算。 這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，終止于數(shù)表的上行右列的數(shù)為 1 。特別地，如果輾轉(zhuǎn)相除的過(guò)程終止于下行的 1 （此時(shí) \(m = 1\) ），需要人為地增加一步“除法”，強(qiáng)制要求余數(shù)等于 1 。
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