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Question

Answer 1

以下為您列舉高等數學中數學歸納法的一些例子： 1. 證明前 n 個自然數的和是 n(n + 1)/2。設 P(n)為“前 n 個正自然數的和是 n(n + 1) / 2”。首先證明 P(0)成立，前 0 個自然數的和為 0(0 + 1)/2 = 0 。然后假設對于某 n，P(n)成立，即 1 + 2 +…+ n = n(n + 1) / 2 。接下來證明 P(n + 1)成立，前 n + 1 自然數的和為 1 +…+ n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + n + 1 = [n(n + 1) + 2(n + 1)]/ 2 = (n + 1)(n + 2)/2 ，所以 P(n)對所有自然數 n 都成立。 2. 用數學歸納證明：= -n(n + 1)(4n + 3)。當 n = 1 時，左邊，右邊 = -1(1 + 1)(4 + 3) = -14 ，等式成立。假設 n = k 時等式成立，即 = -k(k + 1)(4k + 3) 。那么 n = k + 1 時，經過一系列運算可得等式也成立。由上述可知，當 n ∈ N′ 時等式成立，原命題成立。 3. 試證 Sn = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 能被 9 整除。當 n = 1 時，S1 = 4×9 ，能 9 整除。假設 n = k 時，Sk 能被 9 整除，則 Sk + 1 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = Sk + (k + 3)3 - k3 = Sk + 9(k3 + 3k + 3) ，由歸納假設知 Sk + 1 能被 9 整除，即 n = k + 1 時命題也成立。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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高等數學中數學歸納法的例子